添え字 lcm での畳み込み
(include/emthrm/math/convolution/lcm_convolution.hpp)

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• Last update: 2023-02-25 16:35:06+09:00
• Include: #include "emthrm/math/convolution/lcm_convolution.hpp"

$C_k = \sum_{k = i \circ j} A_i B_j$ を求める。ただし $\circ$ は二項演算である。

添え字 xor での畳み込みには『高速ウォルシュ・アダマール変換 (fast Walsh-Hadamard transform)』を用いる。

時間計算量

$O(N\log{N})$

仕様

添え字 and での畳み込み

名前	戻り値
template <typename T> std::vector<T> and_convolution(std::vector<T> a, std::vector<T> b, const T id = 0);	$A, B$ に対する添え字 and での畳み込み

添え字 or での畳み込み

名前	戻り値
template <typename T> std::vector<T> or_convolution(std::vector<T> a, std::vector<T> b, const T id = 0);	$A, B$ に対する添え字 or での畳み込み

添え字 xor での畳み込み

名前	戻り値
template <typename T> std::vector<T> xor_convolution(std::vector<T> a, std::vector<T> b, const T id = 0);	$A, B$ に対する添え字 xor での畳み込み

添え字 gcd での畳み込み

名前	戻り値
template <typename T> std::vector<T> gcd_convolution(std::vector<T> a, std::vector<T> b);	$A, B$ に対する添え字 gcd での畳み込み

添え字 lcm での畳み込み

名前	戻り値
template <typename T> std::vector<T> lcm_convolution(std::vector<T> a, std::vector<T> b, const int n = -1);	$A, B$ に対する添え字 lcm での畳み込み

参考文献

• https://leaf1415.hatenablog.com/entry/2021/08/04/125751
• https://codeforces.com/blog/entry/48417
• http://kazuma8128.hatenablog.com/entry/2018/05/31/144519
• https://lumakernel.github.io/ecasdqina/algorithm/FastZetaTransform

高速ウォルシュ・アダマール変換

• Bernard J. Fino and V. Ralph Algazi: Unified Matrix Treatment of the Fast Walsh-Hadamard Transform, IEEE Transactions on Computers, Vol. C-25, No. 11, pp. 1142–1146 (1976). https://doi.org/10.1109/TC.1976.1674569
• https://sapphire15.hatenablog.com/entry/2021/09/13/114900
• https://cympfh.cc/aiura/hadamard-xor-convolution
• https://pctprobability.hatenadiary.com/entry/2022/01/10/185418
• https://twitter.com/maspy_stars/status/1350467886775603200

添え字 gcd での畳み込み

• https://noshi91.hatenablog.com/entry/2019/09/23/002445
• https://aprilganmo.hatenablog.com/entry/2020/07/24/190816

添え字 lcm での畳み込み

• https://aprilganmo.hatenablog.com/entry/2020/07/24/190816
• https://yukicoder.me/problems/no/1760

TODO

• https://noshi91.hatenablog.com/entry/2020/10/27/175112
• https://noshi91.hatenablog.com/entry/2023/12/10/163348
• 添え字 gcd での畳み込みを $O(N\log{\log{N}})$ に高速化する。
  • http://noshi91.hatenablog.com/entry/2018/12/27/121649
  • https://github.com/drken1215/algorithm/blob/master/MathAlgebra/fast_gcd_convolution.cpp
• 添え字 xor での畳み込みにおける逆元
  • https://yukicoder.me/problems/no/1753/editorial
• 凸性のある畳み込み
  • https://twitter.com/hotmanww/status/1482185138125832192
  • https://judge.yosupo.jp/problem/min_plus_convolution_convex_convex
  • https://judge.yosupo.jp/problem/min_plus_convolution_convex_arbitrary
  • 問題例 “Max (Sum - Max)”
    • https://twitter.com/Kuma_TachiRen/status/1776605913891115418
    • https://twitter.com/kude_coder/status/1776605929800405059
    • https://twitter.com/rniya/status/1776605934690689106
    • https://twitter.com/m_99kyopro/status/1776606141503471909
    • https://twitter.com/ChineristA/status/1776606307375603848
    • https://twitter.com/mt_saka/status/1776606916179030319
• relaxed multiplication
  • https://hly1204.github.io/library/math/formal_power_series/relaxed_convolution.hpp
  • https://qiita.com/Kiri8128/items/1738d5403764a0e26b4c
  • https://hotman78.hatenablog.com/entry/2023/01/04/173507
  • https://maspypy.com/%e5%a4%9a%e9%a0%85%e5%bc%8f%e3%83%bb%e5%bd%a2%e5%bc%8f%e7%9a%84%e3%81%b9%e3%81%8d%e7%b4%9a%e6%95%b0-%e9%ab%98%e9%80%9f%e3%81%ab%e8%a8%88%e7%ae%97%e3%81%a7%e3%81%8d%e3%82%8b%e3%82%82%e3%81%ae#toc38
  • https://twitter.com/noshi91/status/1618178939578634240
  • https://twitter.com/noshi91/status/1692929472507613594
  • https://twitter.com/toomerhs/status/1692939919252164723
  • 問題例 “Bullion”
    • https://atcoder.jp/contests/abc230/editorial/3036
    • https://twitter.com/noshi91/status/1466764432961585166
  • 問題例 “Graph Coloring (hard version)”
    • https://twitter.com/SSRS_cp/status/1617927451958718467
  • 問題例 “Typical Convolution Problem”
    • https://twitter.com/kiri8128/status/1692894996373127280

Submissons

• 添え字 and での畳み込み
• 添え字 or での畳み込み
• 添え字 xor での畳み込み
• 添え字 gcd での畳み込み
• 添え字 lcm での畳み込み

Verified with

• 数学/畳み込み/添え字 lcm での畳み込み (test/math/convolution/lcm_convolution.test.cpp)

Code

#ifndef EMTHRM_MATH_CONVOLUTION_LCM_CONVOLUTION_HPP_
#define EMTHRM_MATH_CONVOLUTION_LCM_CONVOLUTION_HPP_

#include <vector>

namespace emthrm {

template <typename T>
std::vector<T> lcm_convolution(std::vector<T> a, std::vector<T> b,
                               const int n = -1) {
  if (n == -1) return lcm_convolution(a, b, (a.size() - 1) * (b.size() - 1));
  a.resize(n + 1, 0);
  b.resize(n + 1, 0);
  const auto transform = [n](std::vector<T>* v) -> void {
    for (int i = n; i >= 1; --i) {
      for (int j = i << 1; j <= n; j += i) {
        (*v)[j] += (*v)[i];
      }
    }
  };
  transform(&a);
  transform(&b);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    a[i] *= b[i];
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = i << 1; j <= n; j += i) {
      a[j] -= a[i];
    }
  }
  return a;
}

}  // namespace emthrm

#endif  // EMTHRM_MATH_CONVOLUTION_LCM_CONVOLUTION_HPP_

#line 1 "include/emthrm/math/convolution/lcm_convolution.hpp"



#include <vector>

namespace emthrm {

template <typename T>
std::vector<T> lcm_convolution(std::vector<T> a, std::vector<T> b,
                               const int n = -1) {
  if (n == -1) return lcm_convolution(a, b, (a.size() - 1) * (b.size() - 1));
  a.resize(n + 1, 0);
  b.resize(n + 1, 0);
  const auto transform = [n](std::vector<T>* v) -> void {
    for (int i = n; i >= 1; --i) {
      for (int j = i << 1; j <= n; j += i) {
        (*v)[j] += (*v)[i];
      }
    }
  };
  transform(&a);
  transform(&b);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    a[i] *= b[i];
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = i << 1; j <= n; j += i) {
      a[j] -= a[i];
    }
  }
  return a;
}

}  // namespace emthrm

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