第1種スターリング数 (Stirling number of the first kind) の数表形式的冪級数版
(include/emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_first_kind_init_by_fps.hpp)

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Last update: 2023-02-25 16:35:06+09:00
Include: #include "emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_first_kind_init_by_fps.hpp"

スターリング数 (Stirling number)

第1種スターリング数 (Stirling number of the first kind)

\[x^{\overline{n}} = \sum_{k = 0}^n s(n, k) x^k\]

で定義される $s$ である。

\[\begin{aligned} s(n, k) = \begin{cases} 1 & (n = k), \\ 0 & (n \geq 1,\ k = 0), \\ s(n - 1, k - 1) + (n - 1)s(n - 1, k) & (1 \leq k < n) \end{cases} \end{aligned}\]

という漸化式をもつ。

組合せ数学では区別された $n$ 個を $k$ 個の巡回列に分割する個数を意味する。

第2種スターリング数 (Stirling number of the second kind)

\[x^n = \sum_{k = 0}^n S(n, k) x^{\underline{k}}\]

で定義される $S$ である。

\[\begin{aligned} S(n, k) = \begin{cases} 1 & (n = k), \\ 0 & (n \geq 1,\ k = 0), \\ S(n-1, k-1) + k S(n - 1, k) & (1 \leq k < n) \end{cases} \end{aligned}\]

という漸化式をもつ。

一般項は

\[S(n,k) = \dfrac{\sum_{i = 1}^k (-1)^{k - i} \binom{k}{i} i^n}{k!}\]

である。

組合せ数学では区別された $n$ 個を $k$ グループに分割する個数を意味する。

時間計算量

	時間計算量
第1種スターリング数の数表	$O(NK)$
第1種スターリング数の数表形式的冪級数版	$O(N\log{N})$
第2種スターリング数	$O(K\log{N})$
第2種スターリング数の数表	$O(NK)$
第2種スターリング数の数表形式的冪級数版	$O(N\log{N})$

仕様

第1種スターリング数の数表

名前	戻り値
`template <typename T>` `std::vector<std::vector<T>> stirling_number_of_the_first_kind_init(const int n, const int k);`	第1種スターリング数 $s(i, j)$ ($0 \leq i \leq n,\ 0 \leq j \leq k$) の数表

第1種スターリング数の数表形式的冪級数版

名前	戻り値	備考
`template <typename T>` `std::vector<T> stirling_number_of_the_first_kind_init_by_fps(const int n);`	第1種スターリング数 $s(n, k)$ ($0 \leq k \leq n$) の数表	$x^{\underline{n}} = \sum_{k = 0}^n (-1)^{n + k} s(n, k) x^k$

第2種スターリング数

名前	戻り値
`template <unsigned int T>` `MInt<T> stirling_number_of_the_second_kind(const int n, const int k);`	第2種スターリング数 $S(n,k)$

第2種スターリング数の数表

名前	戻り値
`template <typename T>` `std::vector<std::vector<T>> stirling_number_of_the_second_kind_init(const int n, const int k);`	第2種スターリング数 $S(i, j)$ ($0 \leq i \leq n,\ 0 \leq j \leq k$) の数表

第2種スターリング数の数表形式的冪級数版

名前	戻り値
`template <unsigned int T>` `std::vector<MInt<T>> stirling_number_of_the_second_kind_init_by_fps(const int n);`	第2種スターリング数 $S(n, k)$ ($0 \leq k \leq n$) の数表

参考文献

James Stirling: Methodus differentialis: sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum (1730).
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E6%95%B0

第2種スターリング数

https://mathtrain.jp/stnum
https://mathtrain.jp/zensya

形式的冪級数版

~~https://min-25.hatenablog.com/entry/2015/04/07/160154~~

TODO

https://judge.yosupo.jp/problem/stirling_number_of_the_first_kind_fixed_k
https://judge.yosupo.jp/problem/stirling_number_of_the_second_kind_fixed_k
小さな素数 $p \in \mathbb{P}$ で割ったあまり
- https://maspypy.com/stirling-%e6%95%b0%e3%82%92-p-%e3%81%a7%e5%89%b2%e3%81%a3%e3%81%9f%e4%bd%99%e3%82%8a%e3%81%ae%e8%a8%88%e7%ae%97
- https://judge.yosupo.jp/problem/stirling_number_of_the_first_kind_small_p_large_n
- https://judge.yosupo.jp/problem/stirling_number_of_the_second_kind_small_p_large_n

Submissons

Depends on

形式的冪級数 (formal power series) (include/emthrm/math/formal_power_series/formal_power_series.hpp)

Verified with

数学/写像12相/スターリング数/第1種スターリング数の数表形式的冪級数版 (test/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_first_kind_init_with_fps.test.cpp)

Code

#ifndef EMTHRM_MATH_TWELVEFOLD_WAY_STIRLING_NUMBER_STIRLING_NUMBER_OF_THE_FIRST_KIND_INIT_BY_FPS_HPP_
#define EMTHRM_MATH_TWELVEFOLD_WAY_STIRLING_NUMBER_STIRLING_NUMBER_OF_THE_FIRST_KIND_INIT_BY_FPS_HPP_

#include <bit>
#include <cstdint>
#include <vector>

#include "emthrm/math/formal_power_series/formal_power_series.hpp"

namespace emthrm {

template <typename T>
std::vector<T> stirling_number_of_the_first_kind_init_by_fps(const int n) {
  if (n == 0) [[unlikely]] return {1};
  FormalPowerSeries<T> s{0, 1};
  for (int i = 30 - std::countl_zero(static_cast<std::uint32_t>(n));
       i >= 0; --i) {
    s *= s.translate(-s.degree());
    if (n >> i & 1) {
      const int deg = s.degree();
      s <<= 1;
      for (int i = 0; i <= deg; ++i) {
        s[i] += s[i + 1] * -deg;
      }
    }
  }
  return s.coef;
}

}  // namespace emthrm

#endif  // EMTHRM_MATH_TWELVEFOLD_WAY_STIRLING_NUMBER_STIRLING_NUMBER_OF_THE_FIRST_KIND_INIT_BY_FPS_HPP_

#line 1 "include/emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_first_kind_init_by_fps.hpp"



#include <bit>
#include <cstdint>
#include <vector>

#line 1 "include/emthrm/math/formal_power_series/formal_power_series.hpp"



#include <algorithm>
#include <cassert>
#include <functional>
#include <initializer_list>
#include <iterator>
#include <numeric>
#line 11 "include/emthrm/math/formal_power_series/formal_power_series.hpp"

namespace emthrm {

template <typename T>
struct FormalPowerSeries {
  std::vector<T> coef;

  explicit FormalPowerSeries(const int deg = 0) : coef(deg + 1, 0) {}
  explicit FormalPowerSeries(const std::vector<T>& coef) : coef(coef) {}
  FormalPowerSeries(const std::initializer_list<T> init)
      : coef(init.begin(), init.end()) {}
  template <typename InputIter>
  explicit FormalPowerSeries(const InputIter first, const InputIter last)
      : coef(first, last) {}

  inline const T& operator[](const int term) const { return coef[term]; }
  inline T& operator[](const int term) { return coef[term]; }

  using Mult = std::function<std::vector<T>(const std::vector<T>&,
                                            const std::vector<T>&)>;
  using Sqrt = std::function<bool(const T&, T*)>;
  static void set_mult(const Mult mult) { get_mult() = mult; }
  static void set_sqrt(const Sqrt sqrt) { get_sqrt() = sqrt; }

  void resize(const int deg) { coef.resize(deg + 1, 0); }
  void shrink() {
    while (coef.size() > 1 && coef.back() == 0) coef.pop_back();
  }
  int degree() const { return std::ssize(coef) - 1; }

  FormalPowerSeries& operator=(const std::vector<T>& coef_) {
    coef = coef_;
    return *this;
  }
  FormalPowerSeries& operator=(const FormalPowerSeries& x) = default;

  FormalPowerSeries& operator+=(const FormalPowerSeries& x) {
    const int deg_x = x.degree();
    if (deg_x > degree()) resize(deg_x);
    for (int i = 0; i <= deg_x; ++i) {
      coef[i] += x[i];
    }
    return *this;
  }
  FormalPowerSeries& operator-=(const FormalPowerSeries& x) {
    const int deg_x = x.degree();
    if (deg_x > degree()) resize(deg_x);
    for (int i = 0; i <= deg_x; ++i) {
      coef[i] -= x[i];
    }
    return *this;
  }
  FormalPowerSeries& operator*=(const T x) {
    for (T& e : coef) e *= x;
    return *this;
  }
  FormalPowerSeries& operator*=(const FormalPowerSeries& x) {
    return *this = get_mult()(coef, x.coef);
  }
  FormalPowerSeries& operator/=(const T x) {
    assert(x != 0);
    return *this *= static_cast<T>(1) / x;
  }
  FormalPowerSeries& operator/=(const FormalPowerSeries& x) {
    const int n = degree() - x.degree() + 1;
    if (n <= 0) return *this = FormalPowerSeries();
    const std::vector<T> tmp = get_mult()(
        std::vector<T>(coef.rbegin(), std::next(coef.rbegin(), n)),
        FormalPowerSeries(
            x.coef.rbegin(),
            std::next(x.coef.rbegin(), std::min(x.degree() + 1, n)))
        .inv(n - 1).coef);
    return *this = FormalPowerSeries(std::prev(tmp.rend(), n), tmp.rend());
  }
  FormalPowerSeries& operator%=(const FormalPowerSeries& x) {
    if (x.degree() == 0) return *this = FormalPowerSeries{0};
    *this -= *this / x * x;
    resize(x.degree() - 1);
    return *this;
  }
  FormalPowerSeries& operator<<=(const int n) {
    coef.insert(coef.begin(), n, 0);
    return *this;
  }
  FormalPowerSeries& operator>>=(const int n) {
    if (degree() < n) return *this = FormalPowerSeries();
    coef.erase(coef.begin(), coef.begin() + n);
    return *this;
  }

  bool operator==(FormalPowerSeries x) const {
    x.shrink();
    FormalPowerSeries y = *this;
    y.shrink();
    return x.coef == y.coef;
  }

  FormalPowerSeries operator+() const { return *this; }
  FormalPowerSeries operator-() const {
    FormalPowerSeries res = *this;
    for (T& e : res.coef) e = -e;
    return res;
  }

  FormalPowerSeries operator+(const FormalPowerSeries& x) const {
    return FormalPowerSeries(*this) += x;
  }
  FormalPowerSeries operator-(const FormalPowerSeries& x) const {
    return FormalPowerSeries(*this) -= x;
  }
  FormalPowerSeries operator*(const T x) const {
    return FormalPowerSeries(*this) *= x;
  }
  FormalPowerSeries operator*(const FormalPowerSeries& x) const {
    return FormalPowerSeries(*this) *= x;
  }
  FormalPowerSeries operator/(const T x) const {
    return FormalPowerSeries(*this) /= x;
  }
  FormalPowerSeries operator/(const FormalPowerSeries& x) const {
    return FormalPowerSeries(*this) /= x;
  }
  FormalPowerSeries operator%(const FormalPowerSeries& x) const {
    return FormalPowerSeries(*this) %= x;
  }
  FormalPowerSeries operator<<(const int n) const {
    return FormalPowerSeries(*this) <<= n;
  }
  FormalPowerSeries operator>>(const int n) const {
    return FormalPowerSeries(*this) >>= n;
  }

  T horner(const T x) const {
    return std::accumulate(
        coef.rbegin(), coef.rend(), static_cast<T>(0),
        [x](const T l, const T r) -> T { return l * x + r; });
  }

  FormalPowerSeries differential() const {
    const int deg = degree();
    assert(deg >= 0);
    FormalPowerSeries res(std::max(deg - 1, 0));
    for (int i = 1; i <= deg; ++i) {
      res[i - 1] = coef[i] * i;
    }
    return res;
  }

  FormalPowerSeries exp(const int deg) const {
    assert(coef[0] == 0);
    const int n = coef.size();
    const FormalPowerSeries one{1};
    FormalPowerSeries res = one;
    for (int i = 1; i <= deg; i <<= 1) {
      res *= FormalPowerSeries(coef.begin(),
                               std::next(coef.begin(), std::min(n, i << 1)))
             - res.log((i << 1) - 1) + one;
      res.coef.resize(i << 1);
    }
    res.resize(deg);
    return res;
  }
  FormalPowerSeries exp() const { return exp(degree()); }

  FormalPowerSeries inv(const int deg) const {
    assert(coef[0] != 0);
    const int n = coef.size();
    FormalPowerSeries res{static_cast<T>(1) / coef[0]};
    for (int i = 1; i <= deg; i <<= 1) {
      res = res + res - res * res * FormalPowerSeries(
          coef.begin(), std::next(coef.begin(), std::min(n, i << 1)));
      res.coef.resize(i << 1);
    }
    res.resize(deg);
    return res;
  }
  FormalPowerSeries inv() const { return inv(degree()); }

  FormalPowerSeries log(const int deg) const {
    assert(coef[0] == 1);
    FormalPowerSeries integrand = differential() * inv(deg - 1);
    integrand.resize(deg);
    for (int i = deg; i > 0; --i) {
      integrand[i] = integrand[i - 1] / i;
    }
    integrand[0] = 0;
    return integrand;
  }
  FormalPowerSeries log() const { return log(degree()); }

  FormalPowerSeries pow(long long exponent, const int deg) const {
    const int n = coef.size();
    if (exponent == 0) {
      FormalPowerSeries res(deg);
      if (deg != -1) [[unlikely]] res[0] = 1;
      return res;
    }
    assert(deg >= 0);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      if (coef[i] == 0) continue;
      if (i > deg / exponent) break;
      const long long shift = exponent * i;
      T tmp = 1, base = coef[i];
      for (long long e = exponent; e > 0; e >>= 1) {
        if (e & 1) tmp *= base;
        base *= base;
      }
      const FormalPowerSeries res = ((*this >> i) / coef[i]).log(deg - shift);
      return ((res * exponent).exp(deg - shift) * tmp) << shift;
    }
    return FormalPowerSeries(deg);
  }
  FormalPowerSeries pow(const long long exponent) const {
    return pow(exponent, degree());
  }

  FormalPowerSeries mod_pow(long long exponent,
                            const FormalPowerSeries& md) const {
    const int deg = md.degree() - 1;
    if (deg < 0) [[unlikely]] return FormalPowerSeries(-1);
    const FormalPowerSeries inv_rev_md =
        FormalPowerSeries(md.coef.rbegin(), md.coef.rend()).inv();
    const auto mod_mult = [&md, &inv_rev_md, deg](
        FormalPowerSeries* multiplicand, const FormalPowerSeries& multiplier)
        -> void {
      *multiplicand *= multiplier;
      if (deg < multiplicand->degree()) {
        const int n = multiplicand->degree() - deg;
        const FormalPowerSeries quotient =
            FormalPowerSeries(multiplicand->coef.rbegin(),
                              std::next(multiplicand->coef.rbegin(), n))
            * FormalPowerSeries(
                  inv_rev_md.coef.begin(),
                  std::next(inv_rev_md.coef.begin(), std::min(deg + 2, n)));
        *multiplicand -=
            FormalPowerSeries(std::prev(quotient.coef.rend(), n),
                              quotient.coef.rend()) * md;
        multiplicand->resize(deg);
      }
      multiplicand->shrink();
    };
    FormalPowerSeries res{1}, base = *this;
    for (; exponent > 0; exponent >>= 1) {
      if (exponent & 1) mod_mult(&res, base);
      mod_mult(&base, base);
    }
    return res;
  }

  FormalPowerSeries sqrt(const int deg) const {
    const int n = coef.size();
    if (coef[0] == 0) {
      for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (coef[i] == 0) continue;
        if (i & 1) return FormalPowerSeries(-1);
        const int shift = i >> 1;
        if (deg < shift) break;
        FormalPowerSeries res = (*this >> i).sqrt(deg - shift);
        if (res.coef.empty()) return FormalPowerSeries(-1);
        res <<= shift;
        res.resize(deg);
        return res;
      }
      return FormalPowerSeries(deg);
    }
    T s;
    if (!get_sqrt()(coef.front(), &s)) return FormalPowerSeries(-1);
    FormalPowerSeries res{s};
    const T half = static_cast<T>(1) / 2;
    for (int i = 1; i <= deg; i <<= 1) {
      res = (FormalPowerSeries(coef.begin(),
                               std::next(coef.begin(), std::min(n, i << 1)))
             * res.inv((i << 1) - 1) + res) * half;
    }
    res.resize(deg);
    return res;
  }
  FormalPowerSeries sqrt() const { return sqrt(degree()); }

  FormalPowerSeries translate(const T c) const {
    const int n = coef.size();
    std::vector<T> fact(n, 1), inv_fact(n, 1);
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      fact[i] = fact[i - 1] * i;
    }
    inv_fact[n - 1] = static_cast<T>(1) / fact[n - 1];
    for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
      inv_fact[i - 1] = inv_fact[i] * i;
    }
    std::vector<T> g(n), ex(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      g[i] = coef[i] * fact[i];
    }
    std::reverse(g.begin(), g.end());
    T pow_c = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      ex[i] = pow_c * inv_fact[i];
      pow_c *= c;
    }
    const std::vector<T> conv = get_mult()(g, ex);
    FormalPowerSeries res(n - 1);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      res[i] = conv[n - 1 - i] * inv_fact[i];
    }
    return res;
  }

 private:
  static Mult& get_mult() {
    static Mult mult = [](const std::vector<T>& a, const std::vector<T>& b)
        -> std::vector<T> {
      const int n = a.size(), m = b.size();
      std::vector<T> res(n + m - 1, 0);
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
          res[i + j] += a[i] * b[j];
        }
      }
      return res;
    };
    return mult;
  }
  static Sqrt& get_sqrt() {
    static Sqrt sqrt = [](const T&, T*) -> bool { return false; };
    return sqrt;
  }
};

}  // namespace emthrm


#line 9 "include/emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_first_kind_init_by_fps.hpp"

namespace emthrm {

template <typename T>
std::vector<T> stirling_number_of_the_first_kind_init_by_fps(const int n) {
  if (n == 0) [[unlikely]] return {1};
  FormalPowerSeries<T> s{0, 1};
  for (int i = 30 - std::countl_zero(static_cast<std::uint32_t>(n));
       i >= 0; --i) {
    s *= s.translate(-s.degree());
    if (n >> i & 1) {
      const int deg = s.degree();
      s <<= 1;
      for (int i = 0; i <= deg; ++i) {
        s[i] += s[i + 1] * -deg;
      }
    }
  }
  return s.coef;
}

}  // namespace emthrm

第1種スターリング数 (Stirling number of the first kind) の数表 形式的冪級数版 (include/emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_first_kind_init_by_fps.hpp)

スターリング数 (Stirling number)