C++ Library for Competitive Programming
#include "emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_second_kind.hpp"
で定義される $s$ である。
\[\begin{aligned} s(n, k) = \begin{cases} 1 & (n = k), \\ 0 & (n \geq 1,\ k = 0), \\ s(n - 1, k - 1) + (n - 1)s(n - 1, k) & (1 \leq k < n) \end{cases} \end{aligned}\]という漸化式をもつ。
組合せ数学では区別された $n$ 個を $k$ 個の巡回列に分割する個数を意味する。
で定義される $S$ である。
\[\begin{aligned} S(n, k) = \begin{cases} 1 & (n = k), \\ 0 & (n \geq 1,\ k = 0), \\ S(n-1, k-1) + k S(n - 1, k) & (1 \leq k < n) \end{cases} \end{aligned}\]という漸化式をもつ。
一般項は
\[S(n,k) = \dfrac{\sum_{i = 1}^k (-1)^{k - i} \binom{k}{i} i^n}{k!}\]である。
組合せ数学では区別された $n$ 個を $k$ グループに分割する個数を意味する。
時間計算量 | |
---|---|
第1種スターリング数の数表 | $O(NK)$ |
第1種スターリング数の数表 形式的冪級数版 | $O(N\log{N})$ |
第2種スターリング数 | $O(K\log{N})$ |
第2種スターリング数の数表 | $O(NK)$ |
第2種スターリング数の数表 形式的冪級数版 | $O(N\log{N})$ |
名前 | 戻り値 |
---|---|
template <typename T> std::vector<std::vector<T>> stirling_number_of_the_first_kind_init(const int n, const int k);
|
第1種スターリング数 $s(i, j)$ ($0 \leq i \leq n,\ 0 \leq j \leq k$) の数表 |
名前 | 戻り値 | 備考 |
---|---|---|
template <typename T> std::vector<T> stirling_number_of_the_first_kind_init_by_fps(const int n);
|
第1種スターリング数 $s(n, k)$ ($0 \leq k \leq n$) の数表 | $x^{\underline{n}} = \sum_{k = 0}^n (-1)^{n + k} s(n, k) x^k$ |
名前 | 戻り値 |
---|---|
template <unsigned int T> MInt<T> stirling_number_of_the_second_kind(const int n, const int k);
|
第2種スターリング数 $S(n,k)$ |
名前 | 戻り値 |
---|---|
template <typename T> std::vector<std::vector<T>> stirling_number_of_the_second_kind_init(const int n, const int k);
|
第2種スターリング数 $S(i, j)$ ($0 \leq i \leq n,\ 0 \leq j \leq k$) の数表 |
名前 | 戻り値 |
---|---|
template <unsigned int T> std::vector<MInt<T>> stirling_number_of_the_second_kind_init_by_fps(const int n);
|
第2種スターリング数 $S(n, k)$ ($0 \leq k \leq n$) の数表 |
第2種スターリング数
形式的冪級数版
#ifndef EMTHRM_MATH_TWELVEFOLD_WAY_STIRLING_NUMBER_STIRLING_NUMBER_OF_THE_SECOND_KIND_HPP_
#define EMTHRM_MATH_TWELVEFOLD_WAY_STIRLING_NUMBER_STIRLING_NUMBER_OF_THE_SECOND_KIND_HPP_
#include <cassert>
#include "emthrm/math/modint.hpp"
namespace emthrm {
template <unsigned int T>
MInt<T> stirling_number_of_the_second_kind(const int n, const int k) {
using ModInt = MInt<T>;
if (n < k) [[unlikely]] return 0;
ModInt::init(k);
ModInt s = 0;
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
s += ModInt::nCk(k, i)
* ((k - i) & 1 ? -ModInt(i).pow(n) : ModInt(i).pow(n));
}
return s * ModInt::fact_inv(k);
}
} // namespace emthrm
#endif // EMTHRM_MATH_TWELVEFOLD_WAY_STIRLING_NUMBER_STIRLING_NUMBER_OF_THE_SECOND_KIND_HPP_
#line 1 "include/emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_second_kind.hpp"
#include <cassert>
#line 1 "include/emthrm/math/modint.hpp"
#ifndef ARBITRARY_MODINT
#line 6 "include/emthrm/math/modint.hpp"
#endif
#include <compare>
#include <iostream>
// #include <numeric>
#include <utility>
#include <vector>
namespace emthrm {
#ifndef ARBITRARY_MODINT
template <unsigned int M>
struct MInt {
unsigned int v;
constexpr MInt() : v(0) {}
constexpr MInt(const long long x) : v(x >= 0 ? x % M : x % M + M) {}
static constexpr MInt raw(const int x) {
MInt x_;
x_.v = x;
return x_;
}
static constexpr int get_mod() { return M; }
static constexpr void set_mod(const int divisor) {
assert(std::cmp_equal(divisor, M));
}
static void init(const int x) {
inv<true>(x);
fact(x);
fact_inv(x);
}
template <bool MEMOIZES = false>
static MInt inv(const int n) {
// assert(0 <= n && n < M && std::gcd(n, M) == 1);
static std::vector<MInt> inverse{0, 1};
const int prev = inverse.size();
if (n < prev) return inverse[n];
if constexpr (MEMOIZES) {
// "n!" and "M" must be disjoint.
inverse.resize(n + 1);
for (int i = prev; i <= n; ++i) {
inverse[i] = -inverse[M % i] * raw(M / i);
}
return inverse[n];
}
int u = 1, v = 0;
for (unsigned int a = n, b = M; b;) {
const unsigned int q = a / b;
std::swap(a -= q * b, b);
std::swap(u -= q * v, v);
}
return u;
}
static MInt fact(const int n) {
static std::vector<MInt> factorial{1};
if (const int prev = factorial.size(); n >= prev) {
factorial.resize(n + 1);
for (int i = prev; i <= n; ++i) {
factorial[i] = factorial[i - 1] * i;
}
}
return factorial[n];
}
static MInt fact_inv(const int n) {
static std::vector<MInt> f_inv{1};
if (const int prev = f_inv.size(); n >= prev) {
f_inv.resize(n + 1);
f_inv[n] = inv(fact(n).v);
for (int i = n; i > prev; --i) {
f_inv[i - 1] = f_inv[i] * i;
}
}
return f_inv[n];
}
static MInt nCk(const int n, const int k) {
if (n < 0 || n < k || k < 0) [[unlikely]] return MInt();
return fact(n) * (n - k < k ? fact_inv(k) * fact_inv(n - k) :
fact_inv(n - k) * fact_inv(k));
}
static MInt nPk(const int n, const int k) {
return n < 0 || n < k || k < 0 ? MInt() : fact(n) * fact_inv(n - k);
}
static MInt nHk(const int n, const int k) {
return n < 0 || k < 0 ? MInt() : (k == 0 ? 1 : nCk(n + k - 1, k));
}
static MInt large_nCk(long long n, const int k) {
if (n < 0 || n < k || k < 0) [[unlikely]] return MInt();
inv<true>(k);
MInt res = 1;
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
res *= inv(i) * n--;
}
return res;
}
constexpr MInt pow(long long exponent) const {
MInt res = 1, tmp = *this;
for (; exponent > 0; exponent >>= 1) {
if (exponent & 1) res *= tmp;
tmp *= tmp;
}
return res;
}
constexpr MInt& operator+=(const MInt& x) {
if ((v += x.v) >= M) v -= M;
return *this;
}
constexpr MInt& operator-=(const MInt& x) {
if ((v += M - x.v) >= M) v -= M;
return *this;
}
constexpr MInt& operator*=(const MInt& x) {
v = (unsigned long long){v} * x.v % M;
return *this;
}
MInt& operator/=(const MInt& x) { return *this *= inv(x.v); }
constexpr auto operator<=>(const MInt& x) const = default;
constexpr MInt& operator++() {
if (++v == M) [[unlikely]] v = 0;
return *this;
}
constexpr MInt operator++(int) {
const MInt res = *this;
++*this;
return res;
}
constexpr MInt& operator--() {
v = (v == 0 ? M - 1 : v - 1);
return *this;
}
constexpr MInt operator--(int) {
const MInt res = *this;
--*this;
return res;
}
constexpr MInt operator+() const { return *this; }
constexpr MInt operator-() const { return raw(v ? M - v : 0); }
constexpr MInt operator+(const MInt& x) const { return MInt(*this) += x; }
constexpr MInt operator-(const MInt& x) const { return MInt(*this) -= x; }
constexpr MInt operator*(const MInt& x) const { return MInt(*this) *= x; }
MInt operator/(const MInt& x) const { return MInt(*this) /= x; }
friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const MInt& x) {
return os << x.v;
}
friend std::istream& operator>>(std::istream& is, MInt& x) {
long long v;
is >> v;
x = MInt(v);
return is;
}
};
#else // ARBITRARY_MODINT
template <int ID>
struct MInt {
unsigned int v;
constexpr MInt() : v(0) {}
MInt(const long long x) : v(x >= 0 ? x % mod() : x % mod() + mod()) {}
static constexpr MInt raw(const int x) {
MInt x_;
x_.v = x;
return x_;
}
static int get_mod() { return mod(); }
static void set_mod(const unsigned int divisor) { mod() = divisor; }
static void init(const int x) {
inv<true>(x);
fact(x);
fact_inv(x);
}
template <bool MEMOIZES = false>
static MInt inv(const int n) {
// assert(0 <= n && n < mod() && std::gcd(x, mod()) == 1);
static std::vector<MInt> inverse{0, 1};
const int prev = inverse.size();
if (n < prev) return inverse[n];
if constexpr (MEMOIZES) {
// "n!" and "M" must be disjoint.
inverse.resize(n + 1);
for (int i = prev; i <= n; ++i) {
inverse[i] = -inverse[mod() % i] * raw(mod() / i);
}
return inverse[n];
}
int u = 1, v = 0;
for (unsigned int a = n, b = mod(); b;) {
const unsigned int q = a / b;
std::swap(a -= q * b, b);
std::swap(u -= q * v, v);
}
return u;
}
static MInt fact(const int n) {
static std::vector<MInt> factorial{1};
if (const int prev = factorial.size(); n >= prev) {
factorial.resize(n + 1);
for (int i = prev; i <= n; ++i) {
factorial[i] = factorial[i - 1] * i;
}
}
return factorial[n];
}
static MInt fact_inv(const int n) {
static std::vector<MInt> f_inv{1};
if (const int prev = f_inv.size(); n >= prev) {
f_inv.resize(n + 1);
f_inv[n] = inv(fact(n).v);
for (int i = n; i > prev; --i) {
f_inv[i - 1] = f_inv[i] * i;
}
}
return f_inv[n];
}
static MInt nCk(const int n, const int k) {
if (n < 0 || n < k || k < 0) [[unlikely]] return MInt();
return fact(n) * (n - k < k ? fact_inv(k) * fact_inv(n - k) :
fact_inv(n - k) * fact_inv(k));
}
static MInt nPk(const int n, const int k) {
return n < 0 || n < k || k < 0 ? MInt() : fact(n) * fact_inv(n - k);
}
static MInt nHk(const int n, const int k) {
return n < 0 || k < 0 ? MInt() : (k == 0 ? 1 : nCk(n + k - 1, k));
}
static MInt large_nCk(long long n, const int k) {
if (n < 0 || n < k || k < 0) [[unlikely]] return MInt();
inv<true>(k);
MInt res = 1;
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
res *= inv(i) * n--;
}
return res;
}
MInt pow(long long exponent) const {
MInt res = 1, tmp = *this;
for (; exponent > 0; exponent >>= 1) {
if (exponent & 1) res *= tmp;
tmp *= tmp;
}
return res;
}
MInt& operator+=(const MInt& x) {
if ((v += x.v) >= mod()) v -= mod();
return *this;
}
MInt& operator-=(const MInt& x) {
if ((v += mod() - x.v) >= mod()) v -= mod();
return *this;
}
MInt& operator*=(const MInt& x) {
v = (unsigned long long){v} * x.v % mod();
return *this;
}
MInt& operator/=(const MInt& x) { return *this *= inv(x.v); }
auto operator<=>(const MInt& x) const = default;
MInt& operator++() {
if (++v == mod()) [[unlikely]] v = 0;
return *this;
}
MInt operator++(int) {
const MInt res = *this;
++*this;
return res;
}
MInt& operator--() {
v = (v == 0 ? mod() - 1 : v - 1);
return *this;
}
MInt operator--(int) {
const MInt res = *this;
--*this;
return res;
}
MInt operator+() const { return *this; }
MInt operator-() const { return raw(v ? mod() - v : 0); }
MInt operator+(const MInt& x) const { return MInt(*this) += x; }
MInt operator-(const MInt& x) const { return MInt(*this) -= x; }
MInt operator*(const MInt& x) const { return MInt(*this) *= x; }
MInt operator/(const MInt& x) const { return MInt(*this) /= x; }
friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const MInt& x) {
return os << x.v;
}
friend std::istream& operator>>(std::istream& is, MInt& x) {
long long v;
is >> v;
x = MInt(v);
return is;
}
private:
static unsigned int& mod() {
static unsigned int divisor = 0;
return divisor;
}
};
#endif // ARBITRARY_MODINT
} // namespace emthrm
#line 7 "include/emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_second_kind.hpp"
namespace emthrm {
template <unsigned int T>
MInt<T> stirling_number_of_the_second_kind(const int n, const int k) {
using ModInt = MInt<T>;
if (n < k) [[unlikely]] return 0;
ModInt::init(k);
ModInt s = 0;
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
s += ModInt::nCk(k, i)
* ((k - i) & 1 ? -ModInt(i).pow(n) : ModInt(i).pow(n));
}
return s * ModInt::fact_inv(k);
}
} // namespace emthrm