第2種スターリング数 (Stirling number of the second kind) の数表
(include/emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_second_kind_init.hpp)

• View this file on GitHub
• Last update: 2023-05-13 18:14:57+09:00
• Include: #include "emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_second_kind_init.hpp"

スターリング数 (Stirling number)

第1種スターリング数 (Stirling number of the first kind)

\[x^{\overline{n}} = \sum_{k = 0}^n s(n, k) x^k\]

で定義される $s$ である。

\[\begin{aligned} s(n, k) = \begin{cases} 1 & (n = k), \\ 0 & (n \geq 1,\ k = 0), \\ s(n - 1, k - 1) + (n - 1)s(n - 1, k) & (1 \leq k < n) \end{cases} \end{aligned}\]

という漸化式をもつ。

組合せ数学では区別された $n$ 個を $k$ 個の巡回列に分割する個数を意味する。

第2種スターリング数 (Stirling number of the second kind)

\[x^n = \sum_{k = 0}^n S(n, k) x^{\underline{k}}\]

で定義される $S$ である。

\[\begin{aligned} S(n, k) = \begin{cases} 1 & (n = k), \\ 0 & (n \geq 1,\ k = 0), \\ S(n-1, k-1) + k S(n - 1, k) & (1 \leq k < n) \end{cases} \end{aligned}\]

という漸化式をもつ。

一般項は

\[S(n,k) = \dfrac{\sum_{i = 1}^k (-1)^{k - i} \binom{k}{i} i^n}{k!}\]

である。

組合せ数学では区別された $n$ 個を $k$ グループに分割する個数を意味する。

時間計算量

	時間計算量
第1種スターリング数の数表	$O(NK)$
第1種スターリング数の数表 形式的冪級数版	$O(N\log{N})$
第2種スターリング数	$O(K\log{N})$
第2種スターリング数の数表	$O(NK)$
第2種スターリング数の数表 形式的冪級数版	$O(N\log{N})$

仕様

第1種スターリング数の数表

名前	戻り値
template <typename T> std::vector<std::vector<T>> stirling_number_of_the_first_kind_init(const int n, const int k);	第1種スターリング数 $s(i, j)$ ($0 \leq i \leq n,\ 0 \leq j \leq k$) の数表

第1種スターリング数の数表 形式的冪級数版

名前	戻り値	備考
template <typename T> std::vector<T> stirling_number_of_the_first_kind_init_by_fps(const int n);	第1種スターリング数 $s(n, k)$ ($0 \leq k \leq n$) の数表	$x^{\underline{n}} = \sum_{k = 0}^n (-1)^{n + k} s(n, k) x^k$

第2種スターリング数

名前	戻り値
template <unsigned int T> MInt<T> stirling_number_of_the_second_kind(const int n, const int k);	第2種スターリング数 $S(n,k)$

第2種スターリング数の数表

名前	戻り値
template <typename T> std::vector<std::vector<T>> stirling_number_of_the_second_kind_init(const int n, const int k);	第2種スターリング数 $S(i, j)$ ($0 \leq i \leq n,\ 0 \leq j \leq k$) の数表

第2種スターリング数の数表 形式的冪級数版

名前	戻り値
template <unsigned int T> std::vector<MInt<T>> stirling_number_of_the_second_kind_init_by_fps(const int n);	第2種スターリング数 $S(n, k)$ ($0 \leq k \leq n$) の数表

参考文献

• James Stirling: Methodus differentialis: sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum (1730).
• https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E6%95%B0

第2種スターリング数

• https://mathtrain.jp/stnum
• https://mathtrain.jp/zensya

形式的冪級数版

• https://min-25.hatenablog.com/entry/2015/04/07/160154

TODO

• https://judge.yosupo.jp/problem/stirling_number_of_the_first_kind_fixed_k
• https://judge.yosupo.jp/problem/stirling_number_of_the_second_kind_fixed_k
• 小さな素数 $p \in \mathbb{P}$ で割ったあまり
  • https://maspypy.com/stirling-%e6%95%b0%e3%82%92-p-%e3%81%a7%e5%89%b2%e3%81%a3%e3%81%9f%e4%bd%99%e3%82%8a%e3%81%ae%e8%a8%88%e7%ae%97
  • https://judge.yosupo.jp/problem/stirling_number_of_the_first_kind_small_p_large_n
  • https://judge.yosupo.jp/problem/stirling_number_of_the_second_kind_small_p_large_n

Submissons

• 第1種スターリング数の数表
• 第1種スターリング数の数表 形式的冪級数版
• 第2種スターリング数
• 第2種スターリング数の数表
• 第2種スターリング数の数表 形式的冪級数版

Depends on

• モジュラ計算 (include/emthrm/math/modint.hpp)

Required by

• ベル数 (Bell number) の数表 (include/emthrm/math/twelvefold_way/bell_number/bell_number_init.hpp)

Verified with

• 数学/写像12相/ベル数/ベル数の数表 (test/math/twelvefold_way/bell_number/bell_number_init.test.cpp)
• 数学/写像12相/スターリング数/第2種スターリング数の数表 (test/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_second_kind_init.test.cpp)

Code

#ifndef EMTHRM_MATH_TWELVEFOLD_WAY_STIRLING_NUMBER_STIRLING_NUMBER_OF_THE_SECOND_KIND_INIT_HPP_
#define EMTHRM_MATH_TWELVEFOLD_WAY_STIRLING_NUMBER_STIRLING_NUMBER_OF_THE_SECOND_KIND_INIT_HPP_

#include <vector>

#include "emthrm/math/modint.hpp"

namespace emthrm {

template <typename T>
std::vector<std::vector<T>> stirling_number_of_the_second_kind_init(
    const int n, const int k) {
  std::vector<std::vector<T>> s(n + 1, std::vector<T>(k + 1, 0));
  s[0][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = 1; j <= i && j <= k; ++j) {
      s[i][j] = s[i - 1][j - 1] + s[i - 1][j] * j;
    }
  }
  return s;
}

}  // namespace emthrm

#endif  // EMTHRM_MATH_TWELVEFOLD_WAY_STIRLING_NUMBER_STIRLING_NUMBER_OF_THE_SECOND_KIND_INIT_HPP_

#line 1 "include/emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_second_kind_init.hpp"



#include <vector>

#line 1 "include/emthrm/math/modint.hpp"



#ifndef ARBITRARY_MODINT
# include <cassert>
#endif
#include <compare>
#include <iostream>
// #include <numeric>
#include <utility>
#line 12 "include/emthrm/math/modint.hpp"

namespace emthrm {

#ifndef ARBITRARY_MODINT
template <unsigned int M>
struct MInt {
  unsigned int v;

  constexpr MInt() : v(0) {}
  constexpr MInt(const long long x) : v(x >= 0 ? x % M : x % M + M) {}
  static constexpr MInt raw(const int x) {
    MInt x_;
    x_.v = x;
    return x_;
  }

  static constexpr int get_mod() { return M; }
  static constexpr void set_mod(const int divisor) {
    assert(std::cmp_equal(divisor, M));
  }

  static void init(const int x) {
    inv<true>(x);
    fact(x);
    fact_inv(x);
  }

  template <bool MEMOIZES = false>
  static MInt inv(const int n) {
    // assert(0 <= n && n < M && std::gcd(n, M) == 1);
    static std::vector<MInt> inverse{0, 1};
    const int prev = inverse.size();
    if (n < prev) return inverse[n];
    if constexpr (MEMOIZES) {
      // "n!" and "M" must be disjoint.
      inverse.resize(n + 1);
      for (int i = prev; i <= n; ++i) {
        inverse[i] = -inverse[M % i] * raw(M / i);
      }
      return inverse[n];
    }
    int u = 1, v = 0;
    for (unsigned int a = n, b = M; b;) {
      const unsigned int q = a / b;
      std::swap(a -= q * b, b);
      std::swap(u -= q * v, v);
    }
    return u;
  }

  static MInt fact(const int n) {
    static std::vector<MInt> factorial{1};
    if (const int prev = factorial.size(); n >= prev) {
      factorial.resize(n + 1);
      for (int i = prev; i <= n; ++i) {
        factorial[i] = factorial[i - 1] * i;
      }
    }
    return factorial[n];
  }

  static MInt fact_inv(const int n) {
    static std::vector<MInt> f_inv{1};
    if (const int prev = f_inv.size(); n >= prev) {
      f_inv.resize(n + 1);
      f_inv[n] = inv(fact(n).v);
      for (int i = n; i > prev; --i) {
        f_inv[i - 1] = f_inv[i] * i;
      }
    }
    return f_inv[n];
  }

  static MInt nCk(const int n, const int k) {
    if (n < 0 || n < k || k < 0) [[unlikely]] return MInt();
    return fact(n) * (n - k < k ? fact_inv(k) * fact_inv(n - k) :
                                  fact_inv(n - k) * fact_inv(k));
  }
  static MInt nPk(const int n, const int k) {
    return n < 0 || n < k || k < 0 ? MInt() : fact(n) * fact_inv(n - k);
  }
  static MInt nHk(const int n, const int k) {
    return n < 0 || k < 0 ? MInt() : (k == 0 ? 1 : nCk(n + k - 1, k));
  }

  static MInt large_nCk(long long n, const int k) {
    if (n < 0 || n < k || k < 0) [[unlikely]] return MInt();
    inv<true>(k);
    MInt res = 1;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
      res *= inv(i) * n--;
    }
    return res;
  }

  constexpr MInt pow(long long exponent) const {
    MInt res = 1, tmp = *this;
    for (; exponent > 0; exponent >>= 1) {
      if (exponent & 1) res *= tmp;
      tmp *= tmp;
    }
    return res;
  }

  constexpr MInt& operator+=(const MInt& x) {
    if ((v += x.v) >= M) v -= M;
    return *this;
  }
  constexpr MInt& operator-=(const MInt& x) {
    if ((v += M - x.v) >= M) v -= M;
    return *this;
  }
  constexpr MInt& operator*=(const MInt& x) {
    v = (unsigned long long){v} * x.v % M;
    return *this;
  }
  MInt& operator/=(const MInt& x) { return *this *= inv(x.v); }

  constexpr auto operator<=>(const MInt& x) const = default;

  constexpr MInt& operator++() {
    if (++v == M) [[unlikely]] v = 0;
    return *this;
  }
  constexpr MInt operator++(int) {
    const MInt res = *this;
    ++*this;
    return res;
  }
  constexpr MInt& operator--() {
    v = (v == 0 ? M - 1 : v - 1);
    return *this;
  }
  constexpr MInt operator--(int) {
    const MInt res = *this;
    --*this;
    return res;
  }

  constexpr MInt operator+() const { return *this; }
  constexpr MInt operator-() const { return raw(v ? M - v : 0); }

  constexpr MInt operator+(const MInt& x) const { return MInt(*this) += x; }
  constexpr MInt operator-(const MInt& x) const { return MInt(*this) -= x; }
  constexpr MInt operator*(const MInt& x) const { return MInt(*this) *= x; }
  MInt operator/(const MInt& x) const { return MInt(*this) /= x; }

  friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const MInt& x) {
    return os << x.v;
  }
  friend std::istream& operator>>(std::istream& is, MInt& x) {
    long long v;
    is >> v;
    x = MInt(v);
    return is;
  }
};
#else  // ARBITRARY_MODINT
template <int ID>
struct MInt {
  unsigned int v;

  constexpr MInt() : v(0) {}
  MInt(const long long x) : v(x >= 0 ? x % mod() : x % mod() + mod()) {}
  static constexpr MInt raw(const int x) {
    MInt x_;
    x_.v = x;
    return x_;
  }

  static int get_mod() { return mod(); }
  static void set_mod(const unsigned int divisor) { mod() = divisor; }

  static void init(const int x) {
    inv<true>(x);
    fact(x);
    fact_inv(x);
  }

  template <bool MEMOIZES = false>
  static MInt inv(const int n) {
    // assert(0 <= n && n < mod() && std::gcd(x, mod()) == 1);
    static std::vector<MInt> inverse{0, 1};
    const int prev = inverse.size();
    if (n < prev) return inverse[n];
    if constexpr (MEMOIZES) {
      // "n!" and "M" must be disjoint.
      inverse.resize(n + 1);
      for (int i = prev; i <= n; ++i) {
        inverse[i] = -inverse[mod() % i] * raw(mod() / i);
      }
      return inverse[n];
    }
    int u = 1, v = 0;
    for (unsigned int a = n, b = mod(); b;) {
      const unsigned int q = a / b;
      std::swap(a -= q * b, b);
      std::swap(u -= q * v, v);
    }
    return u;
  }

  static MInt fact(const int n) {
    static std::vector<MInt> factorial{1};
    if (const int prev = factorial.size(); n >= prev) {
      factorial.resize(n + 1);
      for (int i = prev; i <= n; ++i) {
        factorial[i] = factorial[i - 1] * i;
      }
    }
    return factorial[n];
  }

  static MInt fact_inv(const int n) {
    static std::vector<MInt> f_inv{1};
    if (const int prev = f_inv.size(); n >= prev) {
      f_inv.resize(n + 1);
      f_inv[n] = inv(fact(n).v);
      for (int i = n; i > prev; --i) {
        f_inv[i - 1] = f_inv[i] * i;
      }
    }
    return f_inv[n];
  }

  static MInt nCk(const int n, const int k) {
    if (n < 0 || n < k || k < 0) [[unlikely]] return MInt();
    return fact(n) * (n - k < k ? fact_inv(k) * fact_inv(n - k) :
                                  fact_inv(n - k) * fact_inv(k));
  }
  static MInt nPk(const int n, const int k) {
    return n < 0 || n < k || k < 0 ? MInt() : fact(n) * fact_inv(n - k);
  }
  static MInt nHk(const int n, const int k) {
    return n < 0 || k < 0 ? MInt() : (k == 0 ? 1 : nCk(n + k - 1, k));
  }

  static MInt large_nCk(long long n, const int k) {
    if (n < 0 || n < k || k < 0) [[unlikely]] return MInt();
    inv<true>(k);
    MInt res = 1;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
      res *= inv(i) * n--;
    }
    return res;
  }

  MInt pow(long long exponent) const {
    MInt res = 1, tmp = *this;
    for (; exponent > 0; exponent >>= 1) {
      if (exponent & 1) res *= tmp;
      tmp *= tmp;
    }
    return res;
  }

  MInt& operator+=(const MInt& x) {
    if ((v += x.v) >= mod()) v -= mod();
    return *this;
  }
  MInt& operator-=(const MInt& x) {
    if ((v += mod() - x.v) >= mod()) v -= mod();
    return *this;
  }
  MInt& operator*=(const MInt& x) {
    v = (unsigned long long){v} * x.v % mod();
    return *this;
    }
  MInt& operator/=(const MInt& x) { return *this *= inv(x.v); }

  auto operator<=>(const MInt& x) const = default;

  MInt& operator++() {
    if (++v == mod()) [[unlikely]] v = 0;
    return *this;
  }
  MInt operator++(int) {
    const MInt res = *this;
    ++*this;
    return res;
  }
  MInt& operator--() {
    v = (v == 0 ? mod() - 1 : v - 1);
    return *this;
  }
  MInt operator--(int) {
    const MInt res = *this;
    --*this;
    return res;
  }

  MInt operator+() const { return *this; }
  MInt operator-() const { return raw(v ? mod() - v : 0); }

  MInt operator+(const MInt& x) const { return MInt(*this) += x; }
  MInt operator-(const MInt& x) const { return MInt(*this) -= x; }
  MInt operator*(const MInt& x) const { return MInt(*this) *= x; }
  MInt operator/(const MInt& x) const { return MInt(*this) /= x; }

  friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const MInt& x) {
    return os << x.v;
  }
  friend std::istream& operator>>(std::istream& is, MInt& x) {
    long long v;
    is >> v;
    x = MInt(v);
    return is;
  }

 private:
  static unsigned int& mod() {
    static unsigned int divisor = 0;
    return divisor;
  }
};
#endif  // ARBITRARY_MODINT

}  // namespace emthrm


#line 7 "include/emthrm/math/twelvefold_way/stirling_number/stirling_number_of_the_second_kind_init.hpp"

namespace emthrm {

template <typename T>
std::vector<std::vector<T>> stirling_number_of_the_second_kind_init(
    const int n, const int k) {
  std::vector<std::vector<T>> s(n + 1, std::vector<T>(k + 1, 0));
  s[0][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = 1; j <= i && j <= k; ++j) {
      s[i][j] = s[i - 1][j - 1] + s[i - 1][j] * j;
    }
  }
  return s;
}

}  // namespace emthrm

Back to top page