$x$ の最下位ビットは x & -x である。

http://hos.ac/slides/20140319_bit.pdf

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$x \equiv i \pmod{n}$ かつ $0 \leq x \leq r$ を満たす整数 $x$ の個数は (r - i + n) / n である。

https://twitter.com/xuzijian629/status/1139538453031342080

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\[A + B = (A \oplus B) + 2(A \wedge B)\]

https://www.youtube.com/watch?v=lWETOlGiuaI

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両者の条件が異なるとき、Grundy 数は適用できない。

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$a, c \in \mathbb{N},\ b \in \mathbb{N}^+$ に対して $ab \leq c \iff a \leq \left\lfloor \frac{c}{b} \right\rfloor$ が成り立つ。

https://hackmd.io/@qLethon/B1ZGcrbnI

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$f_i(x) \mathrel{:=} \min(\max(x + a_i, b_i), c_i)$ とおくと

\[\begin{aligned} f_2 \circ f_1(x) &= \min(\max(\min(\max(x + a_1, b_1), c_1) + a_2, b_2), c_2) \\ &= \min(\max(\min(\max(x + a_1 + a_2, b_1 + a_2), c_1 + a_2), b_2), c_2) \\ &= \min(\min(\max(\max(x + a_1 + a_2, b_1 + a_2), b_2), \max(c_1 + a_2, b_2)), c_2) \\ &= \min(\min(\max(x + a_1 + a_2, \max(b_1 + a_2, b_2)), \max(c_1 + a_2, b_2)), c_2) \\ &= \min(\max(x + a_1 + a_2, \max(b_1 + a_2, b_2)), \min(\max(c_1 + a_2, b_2), c_2)) \\ &= \min(\max(x + A, B), C) \end{aligned}\]

が成り立つ。ただし $A \mathrel{:=} a_1 + a_2,\ B \mathrel{:=} \max(b_1 + a_2, b_2),\ C \mathrel{:=} \min(\max(c_1 + a_2, b_2), c_2)$ である。

https://atcoder.jp/contests/abc196/editorial/948

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$x > 0$ ならば std::sqrt(x * x) == x が成り立つ。

https://fixedpoint.jp/2016/03/18/sqrt-of-square-of-fp-number.html

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$m \in \mathbb{N}^+,\ a \in \mathbb{Z}$ ($0 < a < m$) に対して

• $ax \equiv 0 \pmod{m} \iff x \equiv 0 \pmod{\frac{m}{\gcd(m, a)}}$、
• $\frac{x}{a} \in \mathbb{Z} \text{ かつ } \frac{x}{a} \equiv 0 \pmod{m} \iff x \equiv 0 \pmod{am}$

が成り立つ。

https://atcoder.jp/contests/abc222/editorial/2750

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任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して $2k \oplus (2k + 1) = 1$ が成り立つ。

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長さ $n$ の文字列の部分文字列として現れる回文は $n$ 種類以下である。

https://hackmd.io/@tatyam-prime/pallindromes

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$N, A, B \in \mathbb{N}^+$ に対して

\[\lfloor {\lfloor N / A \rfloor} / B \rfloor = \lfloor N / AB \rfloor\]

が成り立つ。

https://atcoder.jp/contests/abc239/editorial/3357

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\[\max \lbrace a, b, c \rbrace - \min \lbrace a, b, c \rbrace = \frac{\lvert a - b \rvert + \lvert b - c \rvert + \lvert c - a \rvert}{2}\]

https://math.stackexchange.com/questions/657855/a-bb-cc-a-2-max-a-b-c-min-a-b-c

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$b \mid a$ を満たす $a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{N}^+$ に対して

\[\frac{a}{b} \bmod{m} = \frac{a \bmod{bm}}{b}\]

が成り立つ。

http://techtipshoge.blogspot.com/2015/02/mod-n.html

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自然数列 $(A_1, \ldots, A_n)$ に対して

\[\min \lbrace A_i \oplus A_j \mid 1 \leq i < j \leq n \rbrace = \min \lbrace A_i \oplus A_{i + 1} \mid 1 \leq i < n \rbrace\]

が成り立つ。

https://twitter.com/pro_anyone/status/1666487254175604736 https://atcoder.jp/contests/abc308/editorial/6707