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行列木定理 (Kirchhoff's matrix tree theorem)
(include/emthrm/graph/matrix_tree_theorem.hpp)
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- Last update: 2023-12-25 04:31:42+09:00
- Include:
#include "emthrm/graph/matrix_tree_theorem.hpp"
spectral graph theory
行列木定理 (Kirchhoff’s matrix tree theorem)
無向グラフ $G$ の全域木の個数は $G$ のラプラシアン行列の任意の余因子に等しい。
ケイリーの公式 (Cayley’s formula)
$N$ 頂点のラベル付きの木の個数は $N^{N - 2}$ である。
行列木定理の特殊なときとして示せる。
Lindström–Gessel–Viennot lemma
有向非巡回グラフ $G$、頂点集合 $A = \lbrace a_1, a_2, \ldots, a_n \rbrace,\ B = \lbrace b_1, b_2, \ldots, b_n \rbrace$、可換環 $R$ 上の重み $w \colon E(G) \to R$ が与えられる。ただし有向パス $P$ に対して $\omega(P) \mathrel{:=} \prod_{e \in P} w(e)$ とおき、任意の $s, t \in V(G)$ に対して $e(s, t) \mathrel{:=} \sum_{\text{始点 } s \text{・終点 } t \text{ の有向パス } P} \omega(P)$ が well-defined であるとする。
以下を満たす $n$ 本のパスの組を $(P_1, P_2, \ldots, P_n)$ と記す。
- ある $\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$ の置換 $\sigma$ が存在し、任意の $i \in \lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$ に対して $P_i$ は始点 $a_i$・終点 $b_{\sigma(i)}$ の有向パスである。
- $i \neq j$ を満たす任意の $i, j \in \lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$ に対して $P_i$ と $P_j$ は点素である。
このとき
\[\det(M) = \sum_{(P_1, P_2, \ldots, P_n)} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^n \omega(P_i)\]が成り立つ。ただし $M$ は $m_{ij} \mathrel{:=} e(a_i, b_j)$ で定義される $n$ 次正方行列である。
特殊な場合として、任意の $e \in E(G)$ に対して $w(e) = 1$ が成り立つときを考える。このとき $e(s, t)$ は始点 $s$・終点 $t$ の有向パスの本数に等しい。
さらに $i < j,\ k < l$ を満たす任意の $i, j, k, l \in \lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$ に対して、始点 $a_i$・終点 $b_l$ の有向パスと始点 $a_j$・終点 $b_k$ の有向パスが必ず交差するとき、任意の $(P_1, P_2, \ldots, P_n)$ に対応する置換 $\sigma$ は恒等置換のみとなる。すなわち始点 $a_i$ に対応する終点は必ず $b_i$ となる。
時間計算量
- 行列木定理 $O(N^3)$
仕様
行列木定理
| 名前 | 戻り値 |
|---|---|
template <typename T, typename CostType>T matrix_tree_theorem(const std::vector<std::vector<Edge<CostType>>>& graph, const T eps = 1e-8);
|
無向グラフ $\mathrm{graph}$ の全域木の個数 |
参考文献
- https://www.slideshare.net/irrrrr/ss-25911553
行列木定理
- http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~kanehisa.takasaki/res/tsuda2021history.pdf
- https://mizuwater0.hatenablog.com/entry/2018/11/25/233547
- https://www.ioi-jp.org/camp/2017/2017-sp_camp-kumabe2.pdf
ケイリーの公式
- Arthur Cayley: A theorem on trees, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol. 23, pp. 376–378 (1889).
- http://joisino.hatenablog.com/entry/2017/08/20/200000
Lindström–Gessel–Viennot lemma
- Ira Gessel and Gérard Viennot: Binomial determinants, paths, and hook length formulae, Advances in Mathematics, Vol. 58, No. 3, pp. 300–321 (1985). https://doi.org/10.1016/0001-8708(85)90121-5
- https://en.wikipedia.org/wiki/Lindstr%C3%B6m%E2%80%93Gessel%E2%80%93Viennot_lemma
- https://suikaba.hatenablog.com/entry/2018/12/19/025636
- https://www.ioi-jp.org/camp/2017/2017-sp_camp-kumabe2.pdf
- https://twitter.com/kotatsugame_t/status/1411648290546851840
- https://twitter.com/noshi91/status/1432074841675362304
- https://atcoder.jp/contests/abc216/editorial/2561
Submissons
Depends on
- 辺
(include/emthrm/graph/edge.hpp)
- 行列式 (determinant)
(include/emthrm/math/matrix/determinant.hpp)
- 行列 (matrix)
(include/emthrm/math/matrix/matrix.hpp)
Verified with
グラフ/行列木定理
(test/graph/matrix_tree_theorem.test.cpp)
Code
#ifndef EMTHRM_GRAPH_MATRIX_TREE_THEOREM_HPP_
#define EMTHRM_GRAPH_MATRIX_TREE_THEOREM_HPP_
#include <algorithm>
#include <iterator>
#include <vector>
#include "emthrm/graph/edge.hpp"
#include "emthrm/math/matrix/determinant.hpp"
#include "emthrm/math/matrix/matrix.hpp"
namespace emthrm {
template <typename T, typename CostType>
T matrix_tree_theorem(const std::vector<std::vector<Edge<CostType>>>& graph,
const T eps = 1e-8) {
const int n = graph.size();
if (n == 1) [[unlikely]] return 1;
Matrix<int> laplacian(n, n, 0);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (const Edge<CostType>& e : graph[i]) {
++laplacian[e.src][e.src];
--laplacian[e.src][e.dst];
}
}
Matrix<int> cofactor(n - 1, n - 1);
for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
std::copy(std::next(laplacian[i + 1].begin()), laplacian[i + 1].end(),
cofactor[i].begin());
}
return det(cofactor, eps);
}
} // namespace emthrm
#endif // EMTHRM_GRAPH_MATRIX_TREE_THEOREM_HPP_#line 1 "include/emthrm/graph/matrix_tree_theorem.hpp"
#include <algorithm>
#include <iterator>
#include <vector>
#line 1 "include/emthrm/graph/edge.hpp"
/**
* @title 辺
*/
#ifndef EMTHRM_GRAPH_EDGE_HPP_
#define EMTHRM_GRAPH_EDGE_HPP_
#include <compare>
namespace emthrm {
template <typename CostType>
struct Edge {
CostType cost;
int src, dst;
explicit Edge(const int src, const int dst, const CostType cost = 0)
: cost(cost), src(src), dst(dst) {}
auto operator<=>(const Edge& x) const = default;
};
} // namespace emthrm
#endif // EMTHRM_GRAPH_EDGE_HPP_
#line 1 "include/emthrm/math/matrix/determinant.hpp"
#line 5 "include/emthrm/math/matrix/determinant.hpp"
#include <utility>
#line 1 "include/emthrm/math/matrix/matrix.hpp"
#line 5 "include/emthrm/math/matrix/matrix.hpp"
namespace emthrm {
template <typename T>
struct Matrix {
explicit Matrix(const int m, const int n, const T def = 0)
: data(m, std::vector<T>(n, def)) {}
int nrow() const { return data.size(); }
int ncol() const { return data.empty() ? 0 : data.front().size(); }
Matrix pow(long long exponent) const {
const int n = nrow();
Matrix<T> res(n, n, 0), tmp = *this;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
res[i][i] = 1;
}
for (; exponent > 0; exponent >>= 1) {
if (exponent & 1) res *= tmp;
tmp *= tmp;
}
return res;
}
inline const std::vector<T>& operator[](const int i) const { return data[i]; }
inline std::vector<T>& operator[](const int i) { return data[i]; }
Matrix& operator=(const Matrix& x) = default;
Matrix& operator+=(const Matrix& x) {
const int m = nrow(), n = ncol();
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
data[i][j] += x[i][j];
}
}
return *this;
}
Matrix& operator-=(const Matrix& x) {
const int m = nrow(), n = ncol();
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
data[i][j] -= x[i][j];
}
}
return *this;
}
Matrix& operator*=(const Matrix& x) {
const int m = nrow(), l = ncol(), n = x.ncol();
std::vector<std::vector<T>> res(m, std::vector<T>(n, 0));
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int k = 0; k < l; ++k) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
res[i][j] += data[i][k] * x[k][j];
}
}
}
data.swap(res);
return *this;
}
Matrix operator+(const Matrix& x) const { return Matrix(*this) += x; }
Matrix operator-(const Matrix& x) const { return Matrix(*this) -= x; }
Matrix operator*(const Matrix& x) const { return Matrix(*this) *= x; }
private:
std::vector<std::vector<T>> data;
};
} // namespace emthrm
#line 8 "include/emthrm/math/matrix/determinant.hpp"
namespace emthrm {
template <typename T, typename U>
U det(const Matrix<T>& a, const U eps) {
const int n = a.nrow();
Matrix<U> b(n, n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
std::copy(a[i].begin(), a[i].end(), b[i].begin());
}
U res = 1;
for (int j = 0; j < n; ++j) {
int pivot = -1;
U mx = eps;
for (int i = j; i < n; ++i) {
const U abs = (b[i][j] < 0 ? -b[i][j] : b[i][j]);
if (abs > mx) {
pivot = i;
mx = abs;
}
}
if (pivot == -1) return 0;
if (pivot != j) {
std::swap(b[j], b[pivot]);
res = -res;
}
res *= b[j][j];
for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
b[j][k] /= b[j][j];
}
for (int i = j + 1; i < n; ++i) {
for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
b[i][k] -= b[i][j] * b[j][k];
}
}
}
return res;
}
} // namespace emthrm
#line 11 "include/emthrm/graph/matrix_tree_theorem.hpp"
namespace emthrm {
template <typename T, typename CostType>
T matrix_tree_theorem(const std::vector<std::vector<Edge<CostType>>>& graph,
const T eps = 1e-8) {
const int n = graph.size();
if (n == 1) [[unlikely]] return 1;
Matrix<int> laplacian(n, n, 0);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (const Edge<CostType>& e : graph[i]) {
++laplacian[e.src][e.src];
--laplacian[e.src][e.dst];
}
}
Matrix<int> cofactor(n - 1, n - 1);
for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
std::copy(std::next(laplacian[i + 1].begin()), laplacian[i + 1].end(),
cofactor[i].begin());
}
return det(cofactor, eps);
}
} // namespace emthrm